Soal persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat

Soal persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat yang diberikan
melalui halaman ini adalah kumpulan soal dengan materi persamaan kuadrat
dan fungsi kuadrat. Di mana kesulitan soal yang diberikan setara dengan
soal ujian nasional, sesuai untuk level kognitif aplikasi. Kumpulan
soal persamaan dan fungsi kuadrat yang diberikan telah dilengkapi dengan
pembahasannya.

Persamaan Kuadrat

Contoh 1 – Latihan soal UN 2019
Persamaan kuadrat x^{2} - 5x +6 = 0 mempunyai akar-akar x_{1} dan x_{2}. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x_{1} - 3 dan x_{2} - 3 adalah ….
    [ textrm{A.} ; ; ; x^{2} - 2x = 0 ]
    [ textrm{B.} ; ; ; x^{2} - 2x + 30 = 0 ]
    [ textrm{C.} ; ; ; x^{2} + x = 0 ]
    [ textrm{D.} ; ; ; x^{2} + x - 30 = 0 ]
    [ textrm{E.} ; ; ; x^{2} + x + 30 = 0 ]
Pembahasan:
Diketahui persamaan kuadrat:
    [ x^{2} - 5x + 6 = 0 ]
Maka:
    [ x_{1} +  x_{2} = - frac{b}{a} = - frac{-5}{1} = 5 ]
    [ x_{1} cdot  x_{2} = frac{c}{a} = frac{6}{1} = 6 ]
Persamaan kuadrat dengan akar-akar x_{1} - 3 dan x_{2} - 3 adalah
    [ alpha = x_{1} - 3 ]
    [ beta = x_{2} - 3]
    [ alpha + beta =  x_{1} - 3 + x_{2} - 3 ]
    [ alpha + beta =  x_{1} + x_{2} - 6 ]
    [ alpha + beta =  5 - 6 = - 1 ]
    [ alpha cdot beta =  left( x_{1} - 3 right)  left(  x_{2} - 3 right) ]
    [ alpha cdot beta =  x_{1} cdot x_{2} - 3x_{1} - 3x_{2} + 9 ]
    [ alpha cdot beta =  x_{1} cdot x_{2} - 3 left(x_{1} + x_{2} right) + 9 ]
    [ alpha cdot beta =  6 - 3 cdot 5 + 9 ]
    [ alpha cdot beta =  6 - 15 + 9 = 0 ]
Sehingga, persamaan kuadrat yang baru adalah:
    [  x^{2} - left( alpha + beta right)x +alpha cdot beta = 0 ]
    [  x^{2} -  (-1)x + 0 = 0 ]
    [  x^{2} + x + 0 = 0 ]
Jawaban: C
Contoh 2 – Soal UN Menentukan Persamaan Kuadrat Baru
Jika x_{1} dan x_{2} adalah akar-akar persamaan kuadrat x^{2} - x + 2 = 0. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2x_{1} - 2 dan 2x_{2} - 2 adalah ….
    [ textrm{A.} ; ; ; 8x^{2} + 2x + 1 = 0 ]
    [ textrm{B.} ; ; ; x^{2} + 8x + 2 = 0 ]
    [ textrm{C.} ; ; ; x^{2} + 2x + 8 = 0 ]
    [ textrm{D.} ; ; ; x^{2} - 8x - 2 = 0 ]
    [ textrm{E.} ; ; ; x^{2} - 2x + 8 = 0 ]
Pembahasan:
Diketahui persamaan kuadrat:
    [ x^{2} - x + 2 = 0 ]
Maka:
    [ x_{1} +  x_{2} = - frac{b}{a} = - frac{-1}{1} = 1 ]
    [ x_{1} cdot  x_{2} = frac{c}{a} = frac{2}{1} = 2 ]
Persamaan kuadrat dengan akar-akar 2x_{1} - 2 dan 2x_{2} - 2 adalah
Misalkan akar-akar persamaan baru adalah alpha dan beta
    [ alpha = 2x_{1} - 2 ]
    [ beta = 2x_{2} - 2 ]
Jumlah akar-akar persamaan kuadrat yang baru:
    [ alpha + beta =  2x_{1} -  2 + 2x_{2} - 2 ]
    [ alpha + beta =  2 left( x_{1} + x_{2}right) - 4 ]
    [ alpha + beta =  2 cdot 1 - 4 = - 2 ]
Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat yang baru:
    [ alpha cdot beta =  left( 2x_{1} - 2 right)  left(  2x_{2} - 2 right) ]
    [ alpha cdot beta = 4 cdot x_{1}  x_{2} - 4 x_{1} - 4 x_{2} + 4 ]
    [ alpha cdot beta =  4 cdot x_{1}  x_{2} - 4 left( x_{1} + x_{2} right) + 4 ]
    [ alpha cdot beta =  4 cdot 2 - 4 cdot 1 + 4 ]
    [ alpha cdot beta =  8 - 4 + 4 = 8 ]
Sehingga, persamaan kuadrat yang baru adalah:
    [  x^{2} - left( alpha + beta right)x +alpha cdot beta = 0 ]
    [  x^{2} -  (-2)x + 8 = 0 ]
    [  x^{2} + 2x + 8 = 0 ]
Jawaban: C
Contoh 3 – Soal UN Menentukan Persamaan Kuadrat Baru
Diketahui alpha dan beta akar-akar persamaan kuadrat 4x^{2} - 6x - 1 = 0. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (2 alpha - 1) dan (2 beta - 1) adalah ….
    [ textrm{A.} ; ; ; x^{2} - x - 3 = 0 ]
    [ textrm{B.} ; ; ; x^{2} - 3x + 1 = 0 ]
    [ textrm{C.} ; ; ; x^{2} + 2x - 2 = 0 ]
    [ textrm{D.} ; ; ; 2x^{2} - 3x - 2 = 0 ]
    [ textrm{E.} ; ; ; 2x^{2} + x - 2 = 0 ]
Pembahasan:
Diketahui persamaan kuadrat:
    [ 4x^{2} - 6 x - 1 = 0 ]
Maka:
    [ alpha + beta = - frac{b}{a} = - frac{-6}{4} = frac{3}{2} ]
    [ alpha beta = frac{c}{a} = frac{-1}{4} ]
Persamaan kuadrat dengan akar-akar 2 alpha - 1 dan 2 beta - 1 adalah
Misalkan akar-akar persamaan baru adalah x_{1} dan x_{2}
    [ x_{1} = 2 alpha - 1 ]
    [ x_{2} = 2 beta - 1 ]
Jumlah akar-akar persamaan kuadrat yang baru:
    [ x_{1} + x_{2} = 2 alpha -  1 + 2 beta - 1 ]
    [ x_{1} + x_{2} = 2(alpha + beta) - 2 ]
    [ x_{1} + x_{2} = 2 cdot frac{3}{2} - 2 = 1 ]
Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat yang baru:
    [ x_{1} cdot x_{2} =  left( 2 alpha - 1 right)  left(  2 beta - 1 right) ]
    [ x_{1} cdot x_{2} =  4 alpha beta - 2 alpha - 2 beta + 1 ]
    [ x_{1} cdot x_{2} =  4 alpha beta - 2 left( alpha + beta right) + 1 ]
    [ x_{1} cdot x_{2} =  4 cdot - frac{1}{4} - 2 cdot frac{3}{2} + 1 ]
    [ x_{1} cdot x_{2} =  - 1 - 3 + 1 = - 3 ]
Sehingga, persamaan kuadrat yang baru adalah:
    [  x^{2} - left( x_{1} + x_{2} right)x + x_{1} x_{2} = 0 ]
    [  x^{2} -  x - 3 = 0 ]
Jawaban: A

Fungsi Kuadrat

Contoh 1 – Soal UN Fungsi Kuadrat
Perhatikan gambar di bawah ini!

Contoh soal fungsi kuadrat

Gambar tersebut adalah grafik fungsi kuadrat ….
    [ textrm{A.} ; ; ; x^{2} + 2x + 3 ]
    [ textrm{B.} ; ; ; x^{2} - 2x - 3 ]
    [ textrm{C.} ; ; ; -x^{2} + 2x - 3 ]
    [ textrm{D.} ; ; ; -x^{2} - 2x + 3 ]
    [ textrm{E.} ; ; ; -x^{2} + 2x + 3 ]
Pembahasan:
Persamaan umum kuadrat dinyatakan melalui persamaan:
    [ y = a(x - p)^{2} + q ]
Di mana titik (p, q) adalah titik puncak kurva. Deiktahui, kurva pada
memiliki titik puncak (1, 4). Sehingga, dari persamaan di atas dapat
diperoleh hasil sebagai berikut.
    [ y = a(x - 1)^{2} + 4 ]
Kurva diketahui melalui titik (0, 3). Substitusi nilai pada titik tersebut ke dalam persamaan untuk mendapatkan nilai a.
    [ 0 = a(3 - 1)^{2} + 4 ]
    [ 0 = 4a + 4 ]
    [ 4a = - 4 rightarrow a = -1 ]
Jadi, diperoleh persamaan kuadrat seperti gambar pada soal adalah sebagai berikut.
    [ y = -1 (x - 1)^{2} + 4 ]
    [ y = -1 (x^{2} -2x + 1) + 4 ]
    [ y = - x^{2} + 2x - 1 + 4 ]
    [ y = - x^{2} + 2x + 3 ]
Jawaban: E
Demikianlah ulasan tentang soal dan pembahasan persamaan kuadrat
baru. Meliputi soal dan pembahasan persamaan kuadrat untuk level
kognitif aplikasi. Serta Soal fungsi kuadrat untuk tingkat level yang
sama.