rumus trigonometri segitiga siku siku

Rumus trigonometri segitiga siku siku – Jika
berbicara tentang dasar trigonometri, mutlak kita akan berhadapan
dengan segitiga siku-siku, karena trigonometri itu sendiri didefinisikan
berdasarkan konsep kesebangunan pada segitiga siku-siku. Diberikan segitiga ABC siku-siku di B dengan ∠ A = θ.
perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku
Jika sisi di depan sudut (opposite) dinamakan “depan”, sisi di samping sudut (adjacent) dinamakan “samping” dan sisi miring (hypotenuse) dinamakan “miring”, maka perbandingan sisi-sisi tersebut didefinisikan
sebagai berikut :
sin(θ)=depanmiringcsc(θ)=miringdepan cos(θ)=sampingmiringsec(θ)=miringsamping tan(θ)=depansampingcot(θ)=sampingdepan
Keterangan :
sin untuk sinus
cos untuk cosinus
tan untuk tangen
csc untuk cosecan
sec untuk secan
cot untuk cotangen
Catatan :
Sisi depan dan sisi samping dapat berubah tergantung sudut yang digunakan, sedangkan sisi miring selalu sama, yaitu sisi terpanjang dan letaknya selalu di depan sudut siku-siku.
Dari definisi diatas dapat kita amati dan simpulkan sebagai berikut :
Cosecan adalah kebalikan dari sinus, ditulis csc(θ)=1sin(θ) Secan adalah kebalikan dari cosinus, ditulis sec(θ)=1cos(θ) Cotangen adalah kebalikan dari tangen, ditulis cot(θ)=1tan(θ)
Tangen adalah perbandingan sinus terhadap cosinus, ditulis tan(θ)=sin(θ)cos(θ)) sehingga cot(θ)=cos(θ)sin(θ)
Contoh 1
Tentukan semua perbandingan trigonometri untuk sudut α pada segitiga ABC dan sudut β untuk segitiga PQR !
Penyelesaian :
Perhatikan segitiga ABC
AC = (3)2+12 = 2
Sesuai dengan definisi, maka
sin(α) = depanmiring = ABAC = 32
cos(α) = sampingmiring = BCAC = 12
tan(α) = depansamping = ABBC = 31 = 3
csc(α) = miringdepan = ACAB = 23 = 233
sec(α) = miringsmping = ACBC = 21 = 2
cot(α) = sampingdepan = BCAB = 13 = 33
Perhatikan segitiga PQR
QR = (2)2−12 = 1
Sesuai dengan definisi, maka
sin(β) = depanmiring = QRPR = 12 = 22
cos(β) = sampingmiring = PQPR = 12 = 22
tan(β) = depansamping = QRPQ = 11 = 1
csc(β) = miringdepan = PRQR = 21 = 2
sec(β) = miringsamping = PRPQ = 21 = 2
cot(β) = sampingdepan = PQQR = 11 = 1
Contoh 2
Jika tan(α) = 3 dan α sudut lancip, tentukan nilai dari sin2(α)+cos2(α)
Penyelesaian :
tan(α) = depansamping = 31
Karena perbandingan trigonometri memenuhi konsep kesebangunan, dapat ditulis :
depan = 3
samping = 1
Dengan teorema phytagoras
miring = (3)2+12 = 2
Berdasarkan definisi, kita peroleh
sin(α) =  32
cos(α) = 12
sin2(α) + cos2(α) = (32)2 + (12)2
sin2(α) + cos2(α) = 34 + 14
sin2(α) + cos2(α) = 1
Jadi, sin2(α) + cos2(α) = 1
Contoh 3
Jika sin(β) = 12 dan sudut β lancip, tentukan nilai dari sec2(β)−tan2(β)
Penyelesaian :
sin(β) = depanmiring = 12
depan = 1
miring = 2
samping = 22−12 = 3
Sesuai definisi
sec(β) = 23
tan(β) = 13
sec2(β) − tan2(β) = (23)2 − (13)2
sec2(α) − tan2(α) = 4313
sec2(α) − tan2(α) = 1
Jadi, sec2(β) − tan2(β) = 1
Contoh 4
Jika cos(γ) = 22 dan sudut γ lancip, tentukan nilai dari csc2(γ)−cot2(γ)
Penyelesaian :
cos(γ) = sampingmiring = 22
samping = 2
miring = 2
depan = 22−(2)2 = 2
Sesuai definisi
csc(γ) = 22
cot(γ) = 22 = 1
csc2(γ) − cot2(γ) = (22)2  − (1)2
csc2(γ) − cot2(α) = 2 − 1
csc2(γ) − cot2(α) = 1
Jadi, csc2(γ) − cot2(γ) = 1
Contoh 5
Diberikan segitiga ABC ⊥B dengan ∠A=α dan ∠C=β. Tunjukkan bahwa sin(α)=cos(90∘−α) dan cos(β)=sin(90∘−β)
Penyelesaian :
Sesuai definisi, maka
sin(α) = BCAC
cos(β) = BCAC
Dari kedua persamaan diatas, maka
sin(α) = cos(β)  ………………………………..(1)
∠A + ∠B + ∠C = 180°
α + 90° + β = 180°
α + β = 90°
α = 90° − β  ………………………..(2)
β = 90° − α  ………………………..(3)
Substitusi (2) ke (1) diperoleh
sin(90° − β) = cos(β)
Substitusi (3) ke (1) diperoleh
sin(α) = cos(90° − α)
Contoh 6
Diketahui segitiga ABC ⊥B. Titik D terletak pada BC sehingga CD=1. Jika ∠ADB=α dan ∠ACB=β, tunjukkan bahwa AB=tan(α)tan(β)tan(α)−tan(β)
Penyelesaian :
Perhatikan segitiga ABD
tan(α) = ABBD
⇔ AB = BD tan(α)  …………………………..(1)
Perhatikan segitiga ABC
tan(β) = ABBD+1
⇔ AB = (BD + 1) tan(β)  …………………..(2)
Dari persamaan (1) dan (2)
BD tan(α) = (BD + 1) tan(β)
BD tan(α) = BD tan(β) + tan(β)
BD tan(α) − BD tan(β) = tan(β)
BD(tan(α) − tan(β)) = tan(β)
BD = tan(β)tan(α)−tan(β)  …………………………….(3)
Substitusi (3) ke (1)
AB = tan(β)tan(α)−tan(β) tan(α)
diperoleh
AB = tan(α)tan(β)tan(α)−tan(β) 
Sumber: smatika.blogspot.com